Jean Guitton resucita en este libro el género antiguo del paralelo, buscando afinidades y diferencias entre dos espíritus comparables: Pascal y Leibniz. Ambos son matemáticos, metafísicos y pensadores religiosos. Pero a la vez se oponen en puntos esenciales como el razonamiento matemático, la composición del ser y la unión de los contrarios, la noción de probabilidad, la religión, su concepción de la predestinación, de la libertad y de la gracia, el ecumenismo, incluso en su estilo. No se trata de aportar «nuevos documentos» sobre Pascal o Leibniz, sino que confrontando de este modo ambos pensadores cada uno de ellos queda iluminado con nueva luz. «He procurado pintarlos uno al lado del otro, como en un panel. Me impulsaba la curiosidad por el análisis del espíritu humano, buscando verificar el pensamiento de Saint-Beuve de que habría tipos de pensamiento, familias de espíritus. [...] Me he servido de la confrontación de estas dos cabezas pensantes para desenredar algunos problemas que me preocupaban. El primer dominio de aproximación entre estos pensadores debe ser necesariamente el de la 'filosofía de las matemáticas'. [...] Mas ello sólo es una introducción a una cuestión más elevada: la de la continuidad y la discontinuidad del ser. [...] En lo que concierne a la interpretación del Cristianismo [...] los dos espíritus dialogan y se contestan. Su conversación nos puede permitir reflexionar sobre el sentido de la Reforma y sobre la oposición del catolicismo y el protestantismo, que es, después de tres siglos, uno de los rasgos de nuestra civilización occidental. Además, Pascal y Leibniz pertenecen a una época de transición entre los tiempos medievales y los tiempos modernos, cuando la relación entre la razón y la fe se va a plantear de una nueva forma. [...] Pascal y Leibniz han presentido que llegaba esta nueva edad y han propuesto vías diversas, que también deberemos confrontar. Finalmente, sobre los problemas a los que debemos hacer frente en este momento de la historia, y que conciernen a la organización del mundo y el equilibrio de los Imperios, estos dos genios tienen también algo que decirnos».
Este libro propone un viaje fascinante por toda la evolución de las matemáticas a lo largo de los distintos periodos históricos, utilizando un lenguaje sencillo y fácil de entender. Una vez comprendida la lógica de muchas de las operaciones, teorías y sistemas matemáticos, el miedo a este campo científico se esfumará para siempre y nos permitirá comprender que vivimos rodeados de números, operaciones y cálculos desde que nos levantamos.
Los límites temporales son, en gran parte, convencionales. Para el autor, el siglo XX transcurre entre dos sucesos que centra en Sarajevo: el asesinato del heredero al trono austrohúngaro, que da origen a la Gran Guerra en 1914, y la demolición del muro de Berlín, con la inmediata guerra en los Balcanes en 1989. Dos cotas que marcan un siglo en el cual los fundamentalismos ideológicos, con sus dictaduras asociadas de todo tipo, alcanzan su esplendor en el mundo occidental y tienen terribles consecuencias: millones de muertos en guerras, campos de concentración y gulags, exiliados Fundamentalismos que también se instalan en lo que se pretende un hacer objetivo y dado de una vez y para siempre: el hacer matemático. Desde los años veinte dos escuelas pretenden imponer sus fundamentos, que quieren definitivos y para siempre, en ese hacer matemático: el Intuicionismo y el Formalismo. Dogmatismo en los fundamentos que tendría sus consecuencias en el control de los medios académicos, editoriales, de enseñanza El objetivo de este libro es analizar estos fundamentalismos a través de sus figuras matemáticas esenciales así como sus fracasos, a la vez que de otros matemáticos que también ejercieron un importante papel en los debates originados. Dichos fracasos eran obligados porque el hacer matemático es un hacer proteico, construido por los matemáticos en una praxis cambiante, dinámica, nunca cerrada o dada de una vez y para siempre.
Un cambio de siglo es momento propicio para, desde una mirada al pasado, esbozar un marco en el que se desarrolle una disciplina en el porvenir, en el futuro. El paso del siglo XIX al XX, como el que hemos vivido del XX al XXI, ha sido el momento en el que se han establecido unos Programas-marco que tratan de orientar el futuro, de ver el posible porvenir del Hacer matemático. Lo intentarán plasmar Poincaré y Hilbert, dos de los más grandes matemáticos de todos los tiempos. Dos Programas-marco que reflejan dos formas de trabajar la Matemática y que se manifestarán en estilos expresivos diferentes así como en distintas maneras de enlazar con las demás disciplinas. Si en la primera mitad del siglo XX el programa-marco hilbertiano toma el papel preponderante y obtiene su triunfo definitivo con el bourbakismo tras la segunda Guerra Mundial, en el último tercio del siglo se volverá a las ideas y al estilo querido por Poincaré. En este libro, tras esbozar un panorama del Hacer matemático en los últimos años del siglo XIX, en el que se produce una inversión con su ruptura epistemológica asociada y se pasa de un Hacer Figural a uno Global, se exponen las ideas que subyacen a los dos Programas-marco, a los enunciados por Poincaré y Hilbert. También hay una atención especial hacia unos matemáticos creadores que se mantienen entre dos aguas, a caballo entre las dos formas de hacer que determinan los programas-marco enunciados. Son los matemáticos de la Escuela de París y, más en particular, se exponen con algo más de detalle las ideas tanto de Borel como de Lebesgue, dos de los creadores del Análisis de variable real, entre otras contribuciones.
¿Existen razones lógicas para creer en la existencia de Dios? A lo largo de los siglos, la humanidad ha tratado de formular argumentos supuestamente basados en la razón para fundamentar la fe en un ser a primera vista todopoderoso, máximamente bondadoso y omnisciente. El matemático john allen paulos, que en anteriores ensayos ya nos había guiado por el insondable mundo del analfabetismo numérico, se propone desenmascarar ahora los argumentos de los teístas, desde los clásicos «de toda la vida»», basados en definiciones y primeras causas, hasta los que presentan un aspecto más moderno, centrados en la borrosa noción del «diseño inteligente».Pero ¿por qué las reflexiones de este tipo tienen que ser siempre tan solemnes y grandilocuentes? allen paulos no sólo tritura las trampas y errores de razonamiento que se ocultan tras estas «pruebas» de la existencia de Dios, sino que lo hace con una ironía y un humor auténticamente contagiosos que, sin embargo, no nos llevan a olvidar aquella sentencia de Voltaire que afirmaba que quien nos hace creer en cosas absurdas pronto nos hará cometer atrocidades.
El infinito, ¿es una propiedad matemática válida o es una abstracción desprovista de sentido? La ambición intelectual de David Foster Wallace le permite contarnos, con su característico estilo vivaz, la historia de los matemáticos que se esforzaron en entender el infinito, desde la Antigua Grecia hasta el contraintuitivo descubrimiento, en el siglo XIX, del genio matemático Georg Canto, según el cual existían diversos tipos de infinito. El autor aborda un conjunto de logros matemáticos extremadamente abstractos y técnicos, aunque enormemente profundos, interesantes y hermosos. El objetivo es hablar de esos logros de tal manera que resulten atractivos y comprensibles para lectores que no tengan preparación técnica de nivel profesional ni sean expertos en la materia.
A partir de 1929, Ludwig Wittgenstein trabaja en lo que en reiteradas ocasiones denomina «mi libro» y cuyo resultado será el escrito a máquina que lleva la signatura TS 213 en el archivo de la Universidad de Cambridge y que data de 1933. Los albaceas de su obra pusieron a este texto mecanografiado, redactado en alemán, el título The Big Typescript, literalmente, «el gran escrito a máquina» o «gran mecanoscrito». El propio Wittgenstein se refería a él como Maschinenschrift o Typescript. Este texto inicia la etapa que podría denominarse de madurez en la obra de Ludwig Wittgenstein. No se puede comprender el Tractatus logico-philosophicus sin la lectura de The Big Typescript. Ningún trabajo relevante sobre la obra temprana de Wittgenstein puede prescindir de consultar los argumentos esbozados en este texto. Pero, sobre todo, no se puede entender gran parte de las posteriores Investigaciones filosóficas sin conocerlo. En este texto se condensan, por un lado, las críticas, conjeturas y argumentos más importantes del autor contra su obra temprana; por otro lado, hay que considerarlo el origen, el taller, por así decir, en el que se forma su obra tardía. Constituye, en definitiva, el primer intento serio en el que Wittgenstein sistematiza su pensamiento filosófico tras volver a Cambridge.
El revolucionario hallazgo de Chaitin, el número Omega, es una representación exquisitamente lograda de aquello que las matemáticas deben a la intuición y la experiencia. Sus investigaciones arrojan luz sobre lo que podemos llegar a saber acerca del universo y la propia naturaleza de la vida. Chaitin esboza los pasos intelectuales e intuitivos específicos que lo llevaron hasta su descubrimiento, nos conduce hasta los mismísimos límites del pensamiento científico y nos ayuda a apreciar el arte que reside en la ciencia de las matemáticas. El autor nos muestra que las matemáticas tienen tanto de arte como de lógica, y contienen tanta ciencia experimental como puro razonamiento.
¿Puede un sistema comprenderse a sí mismo ? Si esta pregunta se refiere a la mente humana, entonces nos encontramos ante una cuestión clave del pensamiento científico. Y de la filosofía. Y del arte. Investigar este misterio es una aventura que recorre la matemática, la física, la biología, la psicología y muy especialmente, el lenguaje. Douglas R. Hofstadter, joven y ya célebre científico, nos abre la puerta del enigma con la belleza y la alegría creadora de su estilo. Sorprendentes paralelismos ocultos entre los grabados de Escher y la música de Bach nos remiten a las paradojas clásicas de los antiguos griegos y a un teorema de la lógica matemática moderna que ha estremecido el pensamiento del siglo XX : el de Kurt Gödel. Todo lenguaje, todo sistema formal, todo programa de ordenador, todo proceso de pensamiento, llegan, tarde o temprano, a la situación límite de la autorreferencia : de querer expresarse sobre sí mismos. Surge entonces la emoción del infinito, como dos espejos enfrentados y obligados a reflejarse mutua e indefinidamente. Gödel, Escher, Bach : un Eterno y Grácil Bucle, es una obra de arte escrita por un sabio. Versa sobre los misterios del pensamiento e incluye, ella misma, sus propios misterios. Por ello su traducción ha supuesto también una larga, azarosa y laboriosa aventura que el propio autor ha vivido y que relata en un prólogo especialmente escrito para esta versión española.
La matemática de los dioses y los algoritmos de los hombres es una prodigiosa síntesis científica y humanística que amplía la estela del imprescindible Breve historia del infinito. ¿Qué clase de identidad ha de atribuirse a los números? ¿Son entes reales o bien un invento con el que nuestra mente comprueba la existencia de algo que hay en el mundo? Dos preguntas capitales a las que los matemáticos tratan de dar respuesta desde hace siglos. Con admirable transparencia, Zellini examina estos interrogantes que ;como aquellos sobre la identidad de las cosas sujetas a metamorfosis o sobre la constitución de la materia; atañen a todos los seres pensantes, ya que ¿cómo es posible permanecer inmutable al mismo tiempo que se crece hasta el infinito (y nada hay que crezca como lo hacen los números)? Partiendo de la idea de que somos una raza divina y poseemos el poder para crear, el ensayista triestino repasa de manera comprensible y revolucionaria la historia del concepto de número ;desde la tradición grecolatina, védica y mesopotámica hasta las más avanzadas teorías;, subrayando en todo momento ese vínculo indisoluble que liga la vida y la matemática, la existencia y el universo.
Jean Guitton resucita en este libro el género antiguo del paralelo, buscando afinidades y diferencias entre dos espíritus comparables: Pascal y Leibniz. Ambos son matemáticos, metafísicos y pensadores religiosos. Pero a la vez se oponen en puntos esenciales como el razonamiento matemático, la composición del ser y la unión de los contrarios, la noción de probabilidad, la religión, su concepción de la predestinación, de la libertad y de la gracia, el ecumenismo, incluso en su estilo. No se trata de aportar «nuevos documentos» sobre Pascal o Leibniz, sino que confrontando de este modo ambos pensadores cada uno de ellos queda iluminado con nueva luz. «He procurado pintarlos uno al lado del otro, como en un panel. Me impulsaba la curiosidad por el análisis del espíritu humano, buscando verificar el pensamiento de Saint-Beuve de que habría tipos de pensamiento, familias de espíritus. [...] Me he servido de la confrontación de estas dos cabezas pensantes para desenredar algunos problemas que me preocupaban. El primer dominio de aproximación entre estos pensadores debe ser necesariamente el de la 'filosofía de las matemáticas'. [...] Mas ello sólo es una introducción a una cuestión más elevada: la de la continuidad y la discontinuidad del ser. [...] En lo que concierne a la interpretación del Cristianismo [...] los dos espíritus dialogan y se contestan. Su conversación nos puede permitir reflexionar sobre el sentido de la Reforma y sobre la oposición del catolicismo y el protestantismo, que es, después de tres siglos, uno de los rasgos de nuestra civilización occidental. Además, Pascal y Leibniz pertenecen a una época de transición entre los tiempos medievales y los tiempos modernos, cuando la relación entre la razón y la fe se va a plantear de una nueva forma. [...] Pascal y Leibniz han presentido que llegaba esta nueva edad y han propuesto vías diversas, que también deberemos confrontar. Finalmente, sobre los problemas a los que debemos hacer frente en este momento de la historia, y que conciernen a la organización del mundo y el equilibrio de los Imperios, estos dos genios tienen también algo que decirnos».
Este libro propone un viaje fascinante por toda la evolución de las matemáticas a lo largo de los distintos periodos históricos, utilizando un lenguaje sencillo y fácil de entender. Una vez comprendida la lógica de muchas de las operaciones, teorías y sistemas matemáticos, el miedo a este campo científico se esfumará para siempre y nos permitirá comprender que vivimos rodeados de números, operaciones y cálculos desde que nos levantamos.
Los límites temporales son, en gran parte, convencionales. Para el autor, el siglo XX transcurre entre dos sucesos que centra en Sarajevo: el asesinato del heredero al trono austrohúngaro, que da origen a la Gran Guerra en 1914, y la demolición del muro de Berlín, con la inmediata guerra en los Balcanes en 1989. Dos cotas que marcan un siglo en el cual los fundamentalismos ideológicos, con sus dictaduras asociadas de todo tipo, alcanzan su esplendor en el mundo occidental y tienen terribles consecuencias: millones de muertos en guerras, campos de concentración y gulags, exiliados
Fundamentalismos que también se instalan en lo que se pretende un hacer objetivo y dado de una vez y para siempre: el hacer matemático. Desde los años veinte dos escuelas pretenden imponer sus fundamentos, que quieren definitivos y para siempre, en ese hacer matemático: el Intuicionismo y el Formalismo. Dogmatismo en los fundamentos que tendría sus consecuencias en el control de los medios académicos, editoriales, de enseñanza
El objetivo de este libro es analizar estos fundamentalismos a través de sus figuras matemáticas esenciales así como sus fracasos, a la vez que de otros matemáticos que también ejercieron un importante papel en los debates originados. Dichos fracasos eran obligados porque el hacer matemático es un hacer proteico, construido por los matemáticos en una praxis cambiante, dinámica, nunca cerrada o dada de una vez y para siempre.
Un cambio de siglo es momento propicio para, desde una mirada al pasado, esbozar un marco en el que se desarrolle una disciplina en el porvenir, en el futuro. El paso del siglo XIX al XX, como el que hemos vivido del XX al XXI, ha sido el momento en el que se han establecido unos Programas-marco que tratan de orientar el futuro, de ver el posible porvenir del Hacer matemático. Lo intentarán plasmar Poincaré y Hilbert, dos de los más grandes matemáticos de todos los tiempos. Dos Programas-marco que reflejan dos formas de trabajar la Matemática y que se manifestarán en estilos expresivos diferentes así como en distintas maneras de enlazar con las demás disciplinas. Si en la primera mitad del siglo XX el programa-marco hilbertiano toma el papel preponderante y obtiene su triunfo definitivo con el bourbakismo tras la segunda Guerra Mundial, en el último tercio del siglo se volverá a las ideas y al estilo querido por Poincaré. En este libro, tras esbozar un panorama del Hacer matemático en los últimos años del siglo XIX, en el que se produce una inversión con su ruptura epistemológica asociada y se pasa de un Hacer Figural a uno Global, se exponen las ideas que subyacen a los dos Programas-marco, a los enunciados por Poincaré y Hilbert. También hay una atención especial hacia unos matemáticos creadores que se mantienen entre dos aguas, a caballo entre las dos formas de hacer que determinan los programas-marco enunciados. Son los matemáticos de la Escuela de París y, más en particular, se exponen con algo más de detalle las ideas tanto de Borel como de Lebesgue, dos de los creadores del Análisis de variable real, entre otras contribuciones.
¿Existen razones lógicas para creer en la existencia de Dios? A lo largo de los siglos, la humanidad ha tratado de formular argumentos supuestamente basados en la razón para fundamentar la fe en un ser a primera vista todopoderoso, máximamente bondadoso y omnisciente. El matemático john allen paulos, que en anteriores ensayos ya nos había guiado por el insondable mundo del analfabetismo numérico, se propone desenmascarar ahora los argumentos de los teístas, desde los clásicos «de toda la vida»», basados en definiciones y primeras causas, hasta los que presentan un aspecto más moderno, centrados en la borrosa noción del «diseño inteligente».Pero ¿por qué las reflexiones de este tipo tienen que ser siempre tan solemnes y grandilocuentes? allen paulos no sólo tritura las trampas y errores de razonamiento que se ocultan tras estas «pruebas» de la existencia de Dios, sino que lo hace con una ironía y un humor auténticamente contagiosos que, sin embargo, no nos llevan a olvidar aquella sentencia de Voltaire que afirmaba que quien nos hace creer en cosas absurdas pronto nos hará cometer atrocidades.
El infinito, ¿es una propiedad matemática válida o es una abstracción desprovista de sentido? La ambición intelectual de David Foster Wallace le permite contarnos, con su característico estilo vivaz, la historia de los matemáticos que se esforzaron en entender el infinito, desde la Antigua Grecia hasta el contraintuitivo descubrimiento, en el siglo XIX, del genio matemático Georg Canto, según el cual existían diversos tipos de infinito. El autor aborda un conjunto de logros matemáticos extremadamente abstractos y técnicos, aunque enormemente profundos, interesantes y hermosos. El objetivo es hablar de esos logros de tal manera que resulten atractivos y comprensibles para lectores que no tengan preparación técnica de nivel profesional ni sean expertos en la materia.
A partir de 1929, Ludwig Wittgenstein trabaja en lo que en reiteradas ocasiones denomina «mi libro» y cuyo resultado será el escrito a máquina que lleva la signatura TS 213 en el archivo de la Universidad de Cambridge y que data de 1933. Los albaceas de su obra pusieron a este texto mecanografiado, redactado en alemán, el título The Big Typescript, literalmente, «el gran escrito a máquina» o «gran mecanoscrito». El propio Wittgenstein se refería a él como Maschinenschrift o Typescript. Este texto inicia la etapa que podría denominarse de madurez en la obra de Ludwig Wittgenstein. No se puede comprender el Tractatus logico-philosophicus sin la lectura de The Big Typescript. Ningún trabajo relevante sobre la obra temprana de Wittgenstein puede prescindir de consultar los argumentos esbozados en este texto. Pero, sobre todo, no se puede entender gran parte de las posteriores Investigaciones filosóficas sin conocerlo. En este texto se condensan, por un lado, las críticas, conjeturas y argumentos más importantes del autor contra su obra temprana; por otro lado, hay que considerarlo el origen, el taller, por así decir, en el que se forma su obra tardía. Constituye, en definitiva, el primer intento serio en el que Wittgenstein sistematiza su pensamiento filosófico tras volver a Cambridge.
El revolucionario hallazgo de Chaitin, el número Omega, es una representación exquisitamente lograda de aquello que las matemáticas deben a la intuición y la experiencia. Sus investigaciones arrojan luz sobre lo que podemos llegar a saber acerca del universo y la propia naturaleza de la vida. Chaitin esboza los pasos intelectuales e intuitivos específicos que lo llevaron hasta su descubrimiento, nos conduce hasta los mismísimos límites del pensamiento científico y nos ayuda a apreciar el arte que reside en la ciencia de las matemáticas. El autor nos muestra que las matemáticas tienen tanto de arte como de lógica, y contienen tanta ciencia experimental como puro razonamiento.
¿Puede un sistema comprenderse a sí mismo ? Si esta pregunta se refiere a la mente humana, entonces nos encontramos ante una cuestión clave del pensamiento científico. Y de la filosofía. Y del arte. Investigar este misterio es una aventura que recorre la matemática, la física, la biología, la psicología y muy especialmente, el lenguaje. Douglas R. Hofstadter, joven y ya célebre científico, nos abre la puerta del enigma con la belleza y la alegría creadora de su estilo. Sorprendentes paralelismos ocultos entre los grabados de Escher y la música de Bach nos remiten a las paradojas clásicas de los antiguos griegos y a un teorema de la lógica matemática moderna que ha estremecido el pensamiento del siglo XX : el de Kurt Gödel. Todo lenguaje, todo sistema formal, todo programa de ordenador, todo proceso de pensamiento, llegan, tarde o temprano, a la situación límite de la autorreferencia : de querer expresarse sobre sí mismos. Surge entonces la emoción del infinito, como dos espejos enfrentados y obligados a reflejarse mutua e indefinidamente. Gödel, Escher, Bach : un Eterno y Grácil Bucle, es una obra de arte escrita por un sabio. Versa sobre los misterios del pensamiento e incluye, ella misma, sus propios misterios. Por ello su traducción ha supuesto también una larga, azarosa y laboriosa aventura que el propio autor ha vivido y que relata en un prólogo especialmente escrito para esta versión española.
La matemática de los dioses y los algoritmos de los hombres es una prodigiosa síntesis científica y humanística que amplía la estela del imprescindible Breve historia del infinito. ¿Qué clase de identidad ha de atribuirse a los números? ¿Son entes reales o bien un invento con el que nuestra mente comprueba la existencia de algo que hay en el mundo? Dos preguntas capitales a las que los matemáticos tratan de dar respuesta desde hace siglos. Con admirable transparencia, Zellini examina estos interrogantes que ;como aquellos sobre la identidad de las cosas sujetas a metamorfosis o sobre la constitución de la materia; atañen a todos los seres pensantes, ya que ¿cómo es posible permanecer inmutable al mismo tiempo que se crece hasta el infinito (y nada hay que crezca como lo hacen los números)? Partiendo de la idea de que somos una raza divina y poseemos el poder para crear, el ensayista triestino repasa de manera comprensible y revolucionaria la historia del concepto de número ;desde la tradición grecolatina, védica y mesopotámica hasta las más avanzadas teorías;, subrayando en todo momento ese vínculo indisoluble que liga la vida y la matemática, la existencia y el universo.