La leyenda de Sessa
Para demostrar a sus contemporáneos que un monarca, por muy poderoso que fuese, no es nada sin sus vasallos, un bramán hindú llamado Sessa inventó un día el juego del ajedrez (hace ya bastantes siglos).
Cuando presentaron dicho juego al rey de las Indias, éste quedó tan maravillado por su ingenio y por la variedad considerable de combinaciones posibles que mandó llamar al bramán para recompensarle personalmente. «Por tu relevante invento, quiero recompensarte, le dijo el rey. Elige tú mismo la recompensa y la recibirás enseguida. Soy lo bastante rico y poderos para cumplir el más loco de tus deseos.»
El bramán le pidió al rey un poco de tiempo para meditar su respuesta. Al día siguiente sorprendió a todo el mundo con la increíble modestia de su petición. «Mi buen soberano, querría que me dieses todos los granos de trigo que cupiesen en las 64 casillas de mi ajedrez. Un grano para la primera casilla, dos para la segunda, cuatro para la tercera, ocho para la cuarta, dieciséis para la quinta y así sucesivamente.
En resumen, querría que pusieran en cada casilla dos veces más granos de trigo que en la anterior». «¡Cómo puedes ser tan tonto que pides algo tan modesto!, exclamó el rey sorprendido. Podrías herirme con un deseo tan indigno de mi benevolencia y tan despreciable en comparación con lo que te podría ofrecer. Pero, sea si tal es tu deseo, mis servidores te llevarán tu saco de trigo antes de que caiga la noche.»
El bramán esbozó una sonrisa y abandonó el palacio. Por la noche, el soberano recordó su promesa y preguntó a su ministro si el loco e Sessa había ya tomado posesión de su humilde recompensa. «Soberano, dijo el alto funcionario, están ejecutando tus planes. Los matemáticos de tu augusta corte están determinando el número e granos que tenemos que dar al bramán» El rostro del rey se ensombreció. No estaba acostumbrado a una ejecución tan lenta de sus órdenes. Antes de acostarse, el rey insistió una vez más en saber si el bramán había recibido su saco.
«Rey, dijo el ministro vacilando, tus matemáticos no han terminado sus operaciones. Trabajan sin descanso y esperan acabar su tarea antes del alba.»
Hay que decir que los cálculos habían resultado mucho más largos de lo que se pensaba al principio. Pero el rey no quiso saber nada y ordenó que el problema fuera resuelto antes que se despertara. Pero al día siguiente, esta orden no se había cumplido, lo que incitó al monarca, enfadado, a despedir a sus calculadores. Entonces intervino uno de los consejeros del rey. «Soberano, has hecho muy bien en despedir a estos incompetentes, ¡utilizaban unos métodos bastante anticuados!» Seguían desplegando las posibilidades numéricas de sus dedos y utilizando las columnas sucesivas de una tabla de contar.
He oído decir que los calculadores de la provincia del noroeste del reino emplean desde hace algún tiempo un método muy superior y más rápido que el suyo. Es, según dicen, el más expeditivo y el más fácil de memorizar. ¡Operaciones que requerirían de tus matemáticos varias jornadas de difícil trabajo sólo serían asunto de unas horas para aquellos de quienes te hablo!. Siguiendo estos consejos, mandó llamar uno de estos ingeniosos aritméticos que, después de haber resuelto el problema en un tiempo récord, se presentó ante el rey para comunicarle el resultado. Le dijo con un tono grave: la cantidad de trigo que te ha sido pedida es enorme. Pero el rey contestó que por muy grande que fuera esta cantidad, seguramente no se vaciarían sus graneros.
Oyó entonces con estupor las palabras del sabio. «Soberano, a pesar de todo tu poderío y tu riqueza, no está en tu mano suministrar tal cantidad de trigo. Esta se sitúa mucho más allá del conocimiento y del uso que tenemos de los números. Habrás de saber que incluso si vaciaras todos los graneros de tu reino, el resultado que podrías conseguir sería insignificante en comparación con esta enorme cantidad.
Por otra parte, ésta no se encontraría ni siquiera en todos los graneros juntos de todos los reinos de la Tierra. Si quisieras absolutamente dar esta recompensa, tendrías que empezar por mandar secar los ríos, los lagos, los mares y los océanos, luego derretir las nieves y los hielos que recubren las montañas y ciertas regiones el mundo, y por fin transformarlo todo en campos de trigo. Y después de haber sembrado 73 veces seguidas el conjunto de esta superficie es cuando podrías saldar esta inmensa deuda.
Pero, para tal cantidad, tendrías que almacenar el trigo en un volumen de cerca de doce billones tres mil millones de metros cúbicos, y construir para ello un granero de 5 metros de ancho, 10 metros de largo y de 300.000.000 km de fondo(es decir una altura igual a dos veces la distancia e la Tierra al Sol) «En realidad, añadió el sabio, los granos de trigo que te ha pedido ese bramán son exactamente 18446744073709551615.
Luego, el calculador explicó al soberano las características de la revolucionaria numeración de los sabios de su región de origen.
Después, le enseñó los métodos de cálculo correspondientes y le justificó sus propios cálculos en estos términos: Según la petición del bramán, habría que poner: 1 grano e trigo en la primera casilla; 2 granos en la segunda; 4 granos en la tercera, es decir 2 veces 2; 8 granos en la cuarta, es decir, 2 veces 2veces 2; 16 granos en la quinta, es decir 2 veces 2 veces 2 veces 2 y así sucesivamente, duplicando a cada nuevas casilla. En la casilla 64 habría que colocar, por tanto tantos granos como unidades hubiera en el resultado de 63 multiplicaciones sucesivas por 2, es decir 263 granos. La cantidad solicitada es por tanto, igual a la suma de estos 64 números: 1+2+22+…+263 Si añadieras un grano a este número, prosiguió el calculador, entonces habría 2 granos en al primera y por lo tanto 2 veces 2 granos en las dos primeras. En la tercera, recogerías entonces 2×2+2×2 granos de trigo, es decir 2 veces 2 veces 2 en total. En la cuarta el total sería 2x2x2+2x2x2, osea 2 veces 2 veces2 veces 2 granos. Al proceder así, de uno en uno, verías entonces que en la última casilla del ajedrez recogerías un total igual al resultado de 64 multiplicaciones sucesivas por 2 o sea 264. Ahora bien, este número es igual al producto de 6 veces el producto de diez multiplicaciones sucesivas por 2, a su vez multiplicado por el número 16. 264=210x210x210x210x210x210x24= =1024x1024x1024x1024x1024x1024x16= =18446744073709551616 Y, concluyó como este número ha sido obtenido al añadir una unidad a la cantidad buscada, el total de los granos es por tanto igual a éste menos un grano. Si efectúas entonces las operaciones anteriores según el método que te he enseñado, podrás verificar por ti mismo, soberano, que cantidad de granos solicitada es exactamente de: dieciocho trillones, cuatrocientos cuarenta mil y seis mil setecientos cuarenta y cuatro billones setenta y tres mil setecientos nueve millones quinientos cincuenta y un mil seiscientos quince.
Decididamente, contestó el rey muy impresionado, el juego que ha inventado este bramán es tan ingenioso como sutil ha sido su petición. En cuanto a tus métodos, su sencillez sólo es igual a su eficacia. Dime ahora, hombre sabio, ¿qué tengo que hacer para saldar una deuda tan molesta? El otro reflexionó un momento y le dijo: «Hacer que ese astuto bramán caiga en su propia trampa. Proponle que venga él mismo a contar, grano a grano, toda la cantidad de trigo que ha tenido la osadía de pedirte.Aunque trabajara sin para, día y noche, a razón de un grano por segundo, sólo recogería un metro cúbico a los seis meses, unos veinte metros cúbicos a los diez años y… una parte muy insignificante durante lo que le queda de vida».
